Лекция 2.7. Транспортная задача: линейное программирование

Содержание

• Лекция 2.7. Транспортная задача: линейное программирование
  • Содержание
  • Постановка транспортной задачи
    • Исходные данные
    • Содержательная интерпретация
    • Пример
    • Транспортная задача как частный случай линейного программирования
  • Математическая модель
    • Целевая функция
    • Ограничения
    • Балансовое условие
    • Открытая модель: балансировка фиктивным участником
  • Свойства транспортной задачи
    • Ранг системы ограничений и базис
    • Опорный план и вырожденность
  • Методы построения начального плана
    • Сравнение методов
    • Метод северо-западного угла
    • Метод минимального элемента: алгоритм
  • Решение примера методом минимального элемента
    • Итерации распределения
    • Итоговый опорный план
  • Метод потенциалов
    • Теоретическая основа метода
    • Алгоритм проверки оптимальности
    • Итерация 1: проверка плана ММЕ
    • Перераспределение по циклу
    • Итерация 2: проверка улучшенного плана
    • Экономическая интерпретация потенциалов
  • Инструменты решения
    • Excel («Поиск решения»)
    • Python (Google OR-Tools)
    • Python (PuLP)
    • Python (SciPy: linprog)
    • Верификация ручного решения
  • Транспортная задача большой размерности
    • Проблемы большой размерности
    • Методы решения
  • Учёт ограничений инфраструктуры
    • Типы ограничений
    • Пример с ограничениями
    • Многопродуктовая транспортная задача
  • Сравнение Excel и Python
    • Рекомендации по выбору
  • Применение на машиностроительном предприятии
    • Транспортные задачи АО «Ракета»
    • Особенности задач промышленного предприятия
  • Связь с лабораторной работой
  • Ключевые выводы по лекции
  • Контрольные вопросы
  • Рекомендуемая литература

Постановка транспортной задачи

Транспортная задача — задача оптимизации перевозок грузов от поставщиков к потребителям с минимальными затратами при соблюдении ограничений по запасам и спросу.

Это классическая задача линейного программирования (ЛП), имеющая, однако, специальную структуру, которая позволяет решать её эффективнее общего симплекс-метода — табличными алгоритмами (метод потенциалов) и специализированными решателями (min-cost flow).

Исходные данные

Поставщики:

• $m$ поставщиков с запасами $A_1, A_2, …, A_m$;

Потребители:

• $n$ потребителей со спросом $B_1, B_2, …, B_n$;

Стоимости перевозки:

• $C_{ij}$ — стоимость перевозки 1 единицы от поставщика $i$ к потребителю $j$.

Данные сводятся в таблицу транспортных затрат — основной рабочий документ метода:

Содержательная интерпретация

В логистике под «поставщиком» и «потребителем» могут пониматься объекты самой разной природы:

Пример

Данные:

Проверка баланса: $100 + 150 + 200 = 450$; $120 + 180 + 150 = 450$ — модель закрытая.

Вопрос: Сколько и куда перевозить для минимизации затрат?

Транспортная задача как частный случай линейного программирования

Общая задача ЛП: найти $\min c^T x$ при ограничениях $Ax \leq b$, $x \geq 0$, решаемую симплекс-методом. Транспортная задача отличается тем, что:

• все ограничения — равенства баланса (в закрытой модели);
• матрица ограничений состоит только из 0 и 1 (каждая переменная входит ровно в два ограничения — по строке и по столбцу);
• при целочисленных $A_i$ и $B_j$ оптимальный план автоматически целочисленный — округление не требуется.

Эти свойства делают возможным простой табличный алгоритм решения без построения симплекс-таблиц.

Математическая модель

Целевая функция

Минимизация совокупных затрат:

Где:

• $x_{ij}$ — объём перевозки от поставщика $i$ к потребителю $j$;
• $C_{ij}$ — стоимость перевозки единицы груза.

Ограничения

По запасам поставщиков:

По спросу потребителей:

Неотрицательность:

В закрытой модели неравенства обращаются в равенства: весь запас вывозится, весь спрос удовлетворяется.

Балансовое условие

Закрытая модель (спрос = предложение):

Открытая модель (требуется балансировка):

• Если предложение > спроса — вводится фиктивный потребитель со спросом $B_{n+1} = \sum A_i - \sum B_j$ и нулевыми тарифами;
• Если спрос > предложения — вводится фиктивный поставщик с запасом $A_{m+1} = \sum B_j - \sum A_i$ и нулевыми тарифами.

Перевозки фиктивному участнику интерпретируются как невыполненные (оставленный на складе запас или неудовлетворённый спрос) — их величина в оптимальном плане показывает, какие реальные перевозки окажутся «лишними» или «недостающими».

Открытая модель: балансировка фиктивным участником

Пример. Пусть запасы уменьшились: $A_1 = 50$, $A_2 = 60$, $A_3 = 70$ (итого 180), а спрос прежний — 200. Дефицит: $200 - 180 = 20$ ед. Вводим фиктивного поставщика С4 с запасом 20 и нулевыми тарифами:

Решение методом минимального элемента (нулевые тарифы выбираются первыми):

1. Минимум 0 (С4–П1): $x_{41} = \min(20, 40) = 20$ → С4 исчерпан, П1 осталось 20;
2. Минимум 2 (С1–П1): $x_{11} = 20$ → П1 удовлетворён, С1 осталось 30;
3. Минимум 2 (С3–П4): $x_{34} = 50$ → П4 удовлетворён, С3 осталось 20;
4. Минимум 3 (С2–П2): $x_{22} = 50$ → П2 удовлетворён, С2 осталось 10;
5. Минимум 4 (С3–П3): $x_{33} = 20$ → С3 исчерпан, П3 осталось 40;
6. Минимум 6 (С2–П3): $x_{23} = 10$ → С2 исчерпан, П3 осталось 30;
7. Минимум 8 (С1–П3): $x_{13} = 30$ → всё распределено.

Интерпретация: $x_{41} = 20$ означает, что потребитель П1 недополучит 20 единиц (его потребность 40 удовлетворена лишь на 20 со склада С1). Реальные транспортные затраты: $20 \cdot 2 + 50 \cdot 2 + 50 \cdot 3 + 20 \cdot 4 + 10 \cdot 6 + 30 \cdot 8 = 40 + 100 + 150 + 80 + 60 + 240 = 670$ руб.

Свойства транспортной задачи

Ранг системы ограничений и базис

Система из $m + n$ уравнений баланса линейно зависима: сумма уравнений по строкам тождественно равна сумме уравнений по столбцам (обе равны общему объёму перевозок). Поэтому ранг системы равен $m + n - 1$ — столько же должно быть ненулевых (базисных) клеток в опорном плане.

Правило контроля: после построения начального плана сосчитайте занятые клетки. Если их ровно $m + n - 1$ — план невырожденный. Если меньше — план вырожденный, и для работы метода потенциалов одну из свободных клеток следует объявить базисной с нулевой поставкой.

Для примера 3×3 (раздел «Постановка»): $m + n - 1 = 3 + 3 - 1 = 5$ базисных клеток; для примера 3×4, решаемого ниже: $3 + 4 - 1 = 6$.

Опорный план и вырожденность

Опорный план — любой допустимый план перевозок (удовлетворяющий ограничениям) с $m + n - 1$ базисными клетками. Вырожденность возникает, когда число занятых клеток меньше $m + n - 1$ (например, когда на шаге распределения одновременно обнуляются и строка, и столбец).

Теорема (существование решения): если модель закрытая и сбалансированная, оптимальный план всегда существует и конечен.

Теорема (целочисленность): при целых запасах и спросе существует оптимальный план с целыми $x_{ij}$ — важное свойство для практики (грузы неделимы: контейнеры, вагоны, паллеты).

Методы построения начального плана

Сравнение методов

Метод северо-западного угла

Алгоритм: начать с клетки (1,1), назначить $x_{11} = \min(A_1, B_1)$, исчерпанную строку/столбец исключить, перейти к следующей северо-западной клетке оставшейся подтаблицы.

Метод не учитывает стоимость и даёт худший начальный план, но прост и полезен для понимания структуры алгоритма. Для примера 3×3 из начала лекции он даёт план $x_{11} = 100$, $x_{21} = 20$, $x_{22} = 130$, $x_{32} = 50$, $x_{33} = 150$ с затратами $100 \cdot 5 + 20 \cdot 4 + 130 \cdot 6 + 50 \cdot 5 + 150 \cdot 4 = 500 + 80 + 780 + 250 + 600 = 2210$ руб. против 1970 руб. по методу минимального элемента — сразу на 12% дороже.

Метод минимального элемента: алгоритм

Шаг 1. Найти клетку с минимальной стоимостью $C_{ij}$ среди нераспределённых.

Шаг 2. Назначить максимальную перевозку:

Шаг 3. Скорректировать запасы и спрос:

• $A_i = A_i - x_{ij}$;
• $B_j = B_j - x_{ij}$.

Шаг 4. Исключить удовлетворённую строку или столбец (при одновременном обнулении исключается одно, второе остаётся с нулевым остатком).

Шаг 5. Повторять шаги 1–4 до полного распределения.

Шаг 6. Проверить число базисных клеток: должно быть $m + n - 1$.

Решение примера методом минимального элемента

Рассмотрим полную задачу 3×4 — поставка материалов с трёх складов АО «Ракета» (склад обеспечения, склад цеха микросборки, склад цеха агрегатов) четырём производственным участкам-потребителям.

Условие (закрытая модель):

• Запасы: $A_1 = 50$, $A_2 = 60$, $A_3 = 90$ (итого 200 ед.);
• Спрос: $B_1 = 40$, $B_2 = 50$, $B_3 = 60$, $B_4 = 50$ (итого 200 ед.);
• Матрица тарифов $C_{ij}$ (руб./ед.):

Итерации распределения

Итерация 1. Минимальный тариф — $c_{11} = 2$ (С1–П1). Назначаем:

П1 удовлетворён (столбец исключаем), у С1 осталось $50 - 40 = 10$.

Итерация 2. Минимальный тариф среди доступных — $c_{34} = 2$ (С3–П4):

П4 удовлетворён (столбец исключаем), у С3 осталось $90 - 50 = 40$.

Итерация 3. Минимум — $c_{22} = 3$ (С2–П2):

П2 удовлетворён, у С2 осталось $60 - 50 = 10$.

Итерация 4. Минимум — $c_{33} = 4$ (С3–П3):

С3 исчерпан (строку исключаем), П3 осталось $60 - 40 = 20$.

Итерация 5. Минимум среди оставшихся (строки С1, С2; столбец П3) — $c_{23} = 6$ (С2–П3):

С2 исчерпан, П3 осталось $20 - 10 = 10$.

Итерация 6. Единственная доступная клетка — $c_{13} = 8$ (С1–П3):

Все запасы распределены, весь спрос удовлетворён.

Итоговый опорный план

Проверка вырожденности: занятых клеток 6 = $m + n - 1 = 3 + 4 - 1 = 6$ — план невырожденный.

Затраты опорного плана:

Справка. Для сравнения: метод северо-западного угла на тех же данных даёт план $x = {40, 10, 40, 20, 40, 50}$ (по клеткам С1П1, С1П2, С2П2, С2П3, С3П3, С3П4) с затратами $80 + 40 + 120 + 120 + 160 + 100 = 620$ руб. — случайно совпавшими с оптимумом. Это иллюстрирует важный принцип: начальный план может оказаться любым по качеству; только проверка методом потенциалов доказывает оптимальность.

Метод потенциалов

Теоретическая основа метода

Метод потенциалов — применение условия оптимальности двойственной задачи ЛП к транспортной задаче. Каждому поставщику $i$ сопоставляется потенциал $u_i$, каждому потребителю $j$ — потенциал $v_j$.

Условие оптимальности (теорема): опорный план оптимален тогда и только тогда, когда существуют потенциалы, удовлетворяющие системе:

• для базисных клеток: $u_i + v_j = C_{ij}$;
• для свободных клеток: $\Delta_{ij} = C_{ij} - (u_i + v_j) \geq 0$.

Алгоритм проверки оптимальности

Шаг 1. Назначить потенциалы $u_i$ и $v_j$ так, чтобы для всех базисных клеток выполнялось $u_i + v_j = C_{ij}$ (система из $m + n - 1$ уравнений с $m + n$ неизвестными — одно значение задаётся произвольно).

Шаг 2. Принять $u_1 = 0$ и последовательно вычислить остальные потенциалы через базисные клетки.

Шаг 3. Вычислить оценки свободных клеток:

Шаг 4. Проверить оптимальность:

• если все $\Delta_{ij} \geq 0$ — план оптимален;
• если есть $\Delta_{ij} < 0$ — план можно улучшить; выбирается клетка с наиболее отрицательной оценкой.

Шаг 5. Для улучшающей клетки построить цикл перераспределения — замкнутую ломаную из горизонтальных и вертикальных отрезков, вершины которой лежат в базисных клетках (плюс вводимая клетка). Знаки в вершинах цикла чередуются: «+» во вводимой клетке, далее поочерёдно «−» и «+».

Шаг 7. Вернуться к шагу 1 до достижения оптимальности.

Итерация 1: проверка плана ММЕ

Расставим потенциалы по базисным клеткам плана $F_0 = 630$: $x_{11} = 40$, $x_{13} = 10$, $x_{22} = 50$, $x_{23} = 10$, $x_{33} = 40$, $x_{34} = 50$.

1. Задаём $u_1 = 0$.
2. Из клетки С1–П1 ($x_{11} = 40$): $v_1 = c_{11} - u_1 = 2 - 0 = 2$.
3. Из клетки С1–П3 ($x_{13} = 10$): $v_3 = c_{13} - u_1 = 8 - 0 = 8$.
4. Из клетки С2–П2 ($x_{22} = 50$): нужно $u_2$ — получим из С2–П3.
5. Из клетки С2–П3 ($x_{23} = 10$): $u_2 = c_{23} - v_3 = 6 - 8 = -2$; тогда $v_2 = c_{22} - u_2 = 3 - (-2) = 5$.
6. Из клетки С3–П3 ($x_{33} = 40$): $u_3 = c_{33} - v_3 = 4 - 8 = -4$.
7. Из клетки С3–П4 ($x_{34} = 50$): $v_4 = c_{34} - u_3 = 2 - (-4) = 6$.

Таблица потенциалов (в клетках — тариф, под ним в скобках — объём; «Δ» — оценки свободных):

Расчёт оценок свободных клеток:

• $\Delta_{12} = 4 - (0 + 5) = -1 < 0$ — план не оптимален;
• $\Delta_{14} = 7 - (0 + 6) = +1$;
• $\Delta_{21} = 5 - (-2 + 2) = +5$;
• $\Delta_{24} = 9 - (-2 + 6) = +5$;
• $\Delta_{31} = 8 - (-4 + 2) = +10$;
• $\Delta_{32} = 7 - (-4 + 5) = +6$.

Улучшающая клетка — С1–П2 ($\Delta_{12} = -1$).

Перераспределение по циклу

Строим цикл через вводимую клетку С1П2 и базисные клетки:

(движение: по строке С1 до базисной С1П3, по столбцу П3 до базисной С2П3, по строке С2 до базисной С2П2, по столбцу П2 обратно в С1П2).

Шаг 1. Определяем θ по минусовым клеткам: $\theta = \min(x_{13}, x_{22}) = \min(10, 50) = 10$.

Шаг 2. Пересчитываем план:

Новый план: $x_{11} = 40$, $x_{12} = 10$, $x_{22} = 40$, $x_{23} = 20$, $x_{33} = 40$, $x_{34} = 50$ (базисных клеток снова 6).

Новые затраты:

Итерация 2: проверка улучшенного плана

Расставляем потенциалы заново по новому базису. Пусть $u_1 = 0$:

1. С1П1: $v_1 = 2 - 0 = 2$.
2. С1П2: $v_2 = 4 - 0 = 4$.
3. С2П2: $u_2 = 3 - 4 = -1$.
4. С2П3: $v_3 = 6 - (-1) = 7$.
5. С3П3: $u_3 = 4 - 7 = -3$.
6. С3П4: $v_4 = 2 - (-3) = 5$.

Оценки свободных клеток: $\Delta_{13} = +1$, $\Delta_{14} = +2$, $\Delta_{21} = +4$, $\Delta_{24} = +5$, $\Delta_{31} = +9$, $\Delta_{32} = +6$ — все Δ ≥ 0, план оптимален.

Оптимальный план и затраты:

Сводка итераций:

Экономическая интерпретация потенциалов

Потенциалы имеют содержательный смысл условных (теневых) цен:

• $v_j$ — «цена доставки» единицы груза потребителю $j$ при оптимальном плане;
• $u_i$ — «цена отгрузки» с пункта $i$;
• $\Delta_{ij} \geq 0$ означает: перевозка по маршруту $(i, j)$ невыгодна — удорожание на $\Delta_{ij}$ руб./ед. по сравнению с используемыми маршрутами;
• $\Delta_{ij} = 0$ в свободной клетке — признак альтернативного оптимума: существует второй оптимальный план с теми же затратами (задача имеет несколько равноценных решений — полезно при выборе маршрута по дополнительным критериям, например надёжности).

---
config:
  look: handDrawn
  theme: neutral
---
flowchart TD
    A[Проверка баланса<br/>ΣA = ΣB?] -->|нет| B[Ввести фиктивного<br/>поставщика / потребителя]
    A -->|да| C[Построить опорный план<br/>метод минимального элемента]
    B --> C
    C --> D[Проверить вырожденность:<br/>занятых клеток = m+n−1?]
    D -->|меньше| E[Добавить нулевую<br/>базисную клетку]
    D -->|да| F[Расставить потенциалы<br/>u₁ = 0, uᵢ+vⱼ=cᵢⱼ]
    E --> F
    F --> G[Вычислить Δᵢⱼ свободных клеток]
    G --> H{Все Δᵢⱼ ≥ 0?}
    H -->|да| I[План оптимален<br/>F* — минимальные затраты]
    H -->|нет| J[Выбрать клетку<br/>с min Δᵢⱼ < 0]
    J --> K[Построить цикл,<br/>найти θ, пересчитать план]
    K --> F
    style H fill:#fff9c4,stroke:#333,stroke-width:3px
    style I fill:#c8e6c9,stroke:#333,stroke-width:2px

Инструменты решения

Excel («Поиск решения»)

Настройка (по методике Шадриной Н. И.):

1. Создать таблицу перевозок: блок ячеек $x_{ij}$ (искомые), рядом — матрица $C_{ij}$, по строкам и столбцам — суммы.
2. Формула целевой функции: =СУММПРОИЗВ(матрица_перевозок; матрица_стоимостей).
3. Ограничения:
   • Сумма по строкам ≤ запасы (в закрытой модели — = запасы);
   • Сумма по столбцам ≥ спрос (= спрос);
   • $x_{ij} \geq 0$.
4. Запустить «Поиск решения»: метод Симплекс ЛП (Simplex LP), целевая ячейка — минимум.
5. В параметрах solver’а убедиться, что переменные не ограничены целочисленностью (транспортная задача сама даёт целочисленный ответ при целых данных).

Типовая ошибка: выбор метода ОПГ (GRG Nonlinear) вместо «Симплекс ЛП» — задача линейная, нелинейный решатель может остановиться в локальной точке или выдать предупреждение о нелинейности.

Python (Google OR-Tools)

from ortools.linear_solver import pywraplp

# Создание решателя
solver = pywraplp.Solver('Transport', pywraplp.Solver.GLOP_LINEAR_PROGRAMMING)

# Данные задачи 3x4 из примера лекции
costs = [[2, 4, 8, 7],
         [5, 3, 6, 9],
         [8, 7, 4, 2]]
supply = [50, 60, 90]
demand = [40, 50, 60, 50]
m, n = len(supply), len(demand)

# Переменные решения
x = {}
for i in range(m):
    for j in range(n):
        x[i, j] = solver.NumVar(0, solver.infinity(), f'x[{i},{j}]')

# Целевая функция: min sum C_ij * x_ij
solver.Minimize(solver.Sum(
    costs[i][j] * x[i, j] for i in range(m) for j in range(n)))

# Ограничения по запасам: sum_j x_ij = A_i
for i in range(m):
    solver.Add(solver.Sum(x[i, j] for j in range(n)) == supply[i])

# Ограничения по спросу: sum_i x_ij = B_j
for j in range(n):
    solver.Add(solver.Sum(x[i, j] for i in range(m)) == demand[j])

# Решение
status = solver.Solve()
if status == pywraplp.Solver.OPTIMAL:
    print(f'Минимальные затраты: {solver.Objective().Value():.0f} руб.')
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if x[i, j].solution_value() > 0:
                print(f'  С{i+1} -> П{j+1}: {x[i, j].solution_value():.0f} ед.')
# Вывод: затраты 620 руб.; план совпадает с ручным решением

Для больших задач предпочтительна специализированная постановка min-cost flow (ortools.graph.python.min_cost_flow) — она решает транспортную задачу на порядки быстрее общего ЛП-решателя.

Python (PuLP)

from pulp import (LpProblem, LpMinimize, LpVariable, LpStatus,
                  lpSum, value)

costs = [[2, 4, 8, 7], [5, 3, 6, 9], [8, 7, 4, 2]]
supply = [50, 60, 90]
demand = [40, 50, 60, 50]
m, n = len(supply), len(demand)

# Модель
model = LpProblem('Transport', LpMinimize)

# Переменные
x = {(i, j): LpVariable(f'x_{i}_{j}', lowBound=0)
     for i in range(m) for j in range(n)}

# Целевая функция
model += lpSum(costs[i][j] * x[(i, j)]
               for i in range(m) for j in range(n))

# Ограничения баланса
for i in range(m):
    model += lpSum(x[(i, j)] for j in range(n)) == supply[i]
for j in range(n):
    model += lpSum(x[(i, j)] for i in range(m)) == demand[j]

# Решение (по умолчанию CBC)
model.solve()
print('Статус:', LpStatus[model.status])
print('Затраты:', value(model.objective))

Python (SciPy: linprog)

Для быстрой верификации без установки OR-Tools подойдёт встроенный в SciPy решатель HiGHS:

import numpy as np
from scipy.optimize import linprog

C = np.array([[2, 4, 8, 7], [5, 3, 6, 9], [8, 7, 4, 2]])
a, b = np.array([50, 60, 90]), np.array([40, 50, 60, 50])
m, n = C.shape

# Переменные упорядочены по строкам: x11..x14, x21..x24, x31..x34
res = linprog(
    c=C.flatten(),                       # коэффициенты целевой функции
    A_eq=np.vstack([                     # матрица равенств баланса
        np.kron(np.eye(m), np.ones((1, n))),   # по строкам (запасы)
        np.kron(np.ones((1, m)), np.eye(n)),   # по столбцам (спрос)
    ]),
    b_eq=np.concatenate([a, b])[:-1],    # последнее равенство избыточно
    bounds=(0, None),
)
print('Оптимум:', res.fun)               # 620.0
print('План:\n', res.x.reshape(m, n))

Верификация ручного решения

Три независимых инструмента (ручной метод потенциалов, OR-Tools, SciPy HiGHS) дали одинаковый результат: 620 руб. Совпадение решений — обязательный контроль качества: в ручных расчётах типичны арифметические ошибки при расстановке потенциалов и поиске θ.

Транспортная задача большой размерности

Проблемы большой размерности

При большом количестве поставщиков и потребителей:

• экспоненциальный рост числа переменных ($m \cdot n$);
• длительное время решения ручными методами (неприменимы);
• проблемы с памятью при плотной матрице тарифов;
• трудность верификации результата.

Пример масштаба сетевой компании:

• 100 поставщиков × 500 потребителей = 50 000 переменных;
• 100 + 500 = 600 ограничений;
• ручной метод потенциалов: нереализуем; Excel Solver: на пределе (лимит ~200 переменных в бесплатной версии); OR-Tools: решение за доли секунды.

Методы решения

1. Декомпозиция

• Разбиение на подзадачи меньшего размера (по регионам, продуктовым группам).
• Последовательное решение с координацией (итеративная схема).

2. Специализированные алгоритмы

• Min-cost flow — потоковые алгоритмы (successive shortest paths, network simplex): учитывают специальную структуру задачи, на порядки быстрее общего ЛП.
• Network simplex — симплекс-метод на сети, стандарт для промышленных задач.

3. Приближённые алгоритмы (при усложнении постановки)

• Жадные алгоритмы и эвристики.
• Генетические алгоритмы, метод роя частиц — для задач с дополнительными нелинейными ограничениями (например, маршрутизация с окнами времени).

4. Специализированные решатели

• Gurobi, CPLEX — коммерческие (лидеры по скорости на сверхбольших задачах);
• Google OR-Tools, CBC, HiGHS — открытые (достаточны для задач учебного и большинства практических масштабов).

Учёт ограничений инфраструктуры

Типы ограничений

Пропускная способность маршрутов:

Ограничения по типу транспорта:

• только определённые маршруты для опасных грузов;
• ограничения по весу/габаритам;
• специальный подвижной состав (термостаты, платформы для крупногабаритной техники).

Временные окна:

• доставка в определённые часы;
• ограничения на ночные перевозки.

Парк подвижного состава:

Запрещённые маршруты задаются тарифом $C_{ij} = \infty$ (или большим числом M): такие клетки исключаются из базиса автоматически.

Пример с ограничениями

Дополнительные условия к базовой задаче 3×4:

• Маршрут С1–П3: максимум 80 единиц (ремонт дороги);
• Маршрут С2–П1: минимум 50 единиц (договорные обязательства);
• Маршрут С3–П2 запрещён (нет подъездных путей для тяжёлого транспорта).

Модификация модели (OR-Tools):

# Пропускная способность: x[0,2] <= 80
solver.Add(x[0, 2] <= 80)
# Договорной минимум: x[1,0] >= 50
solver.Add(x[1, 0] >= 50)
# Запрещённый маршрут: фиксация нулём (или Big-M тариф)
solver.Add(x[2, 1] == 0)

Влияние ограничений на решение: каждое дополнительное ограничение сужает допустимое множество и, как правило, увеличивает минимальные затраты (или делает задачу неразрешимой при противоречивых условиях). Разность $F_{огр} - F^*$ — цена ограничения, полезная величина для переговоров: она показывает, сколько стоит ремонт дороги или договорное обязательство.

Многопродуктовая транспортная задача

Если перевозится несколько видов грузов с общей пропускной способностью маршрутов, модель расширяется индексом продукта $k$: переменные $x_{ij}^k$, отдельные балансы по каждому продукту и общие ограничения пропускной способности:

Такая постановка типична для распределения разнородных материалов (электронные компоненты, металлопрокат, кабельная продукция) с одного узла перевозок.

Сравнение Excel и Python

Рекомендации по выбору

Применение на машиностроительном предприятии

Транспортные задачи АО «Ракета»

На машиностроительном предприятии — кейсе курса (АО «Ракета», см. лекцию 1.1) транспортная задача возникает на нескольких уровнях:

Пример внутризаводской постановки. Три склада (обеспечения, цеха микросборки, цеха агрегатов) снабжают четыре участка комплектами электронных компонентов. Тариф — стоимость доставки одной партии электротележкой/автопогрузчиком (включая время в пути и обработку). Решение задачи 3×4 из примера выше показывает: оптимально вывозить с дальнего склада (С3) на дальние участки (П4), а ближайший склад (С1) ориентировать на участок П1 — затраты 620 руб. вместо 630 руб. при «жадном» распределении ММЕ.

Особенности задач промышленного предприятия

Связь с лабораторной работой

Материал лекции является теоретической основой лабораторной работы «Оптимизация транспортных потоков» (семестр 2, выполняется вручную и в Python: Google OR-Tools; результаты сверяются с решением в Excel).

Рекомендации по выполнению:

1. Начинайте с проверки баланса: $\sum A_i = \sum B_j$; при несовпадении введите фиктивного участника и интерпретируйте его загрузку.
2. Вручную дойдите до оптимального плана и зафиксируйте таблицы всех итераций (потенциалы, оценки, циклы, θ) — это обязательная часть отчёта.
3. В OR-Tools используйте равенства баланса для закрытой модели; сверьте затраты с ручным решением — расхождение указывает на арифметическую ошибку.
4. Для анализа устойчивости уменьшите спрос одного потребителя на 10–20% и пересчитайте: сравните изменение затрат с величиной потенциалов.
5. Проверяйте вырожденность: если занятых клеток меньше $m + n - 1$, метод потенциалов даст неполную систему — добавьте нулевую клетку.

Типовые ошибки при выполнении ЛР:

• Потеря клетки при одновременном обнулении строки и столбца (вырожденность не обработана).
• Ошибка знака при расстановке потенциалов ($u_i = c_{ij} - v_j$, а не наоборот).
• Выбор θ по плюсовым клеткам цикла вместо минусовых.
• Сравнение с Excel при разных постановках (в Solver заданы ≤ вместо =).

Ключевые выводы по лекции

1. Транспортная задача минимизирует затраты на перевозки при ограничениях по запасам и спросу; это частный случай ЛП со специальной структурой матрицы ограничений.

2. Математическая модель: целевая функция $min \sum\sum C_{ij} x_{ij}$ + ограничения баланса; закрытая модель требует $\sum A_i = \sum B_j$, открытая балансируется фиктивным участником.

3. Число базисных клеток равно $m + n - 1$; при целых исходных данных оптимум целочисленный автоматически.

4. Метод минимального элемента строит хороший начальный план (в примере 3×4: 630 руб.); метод северо-западного угла — простейший, но без учёта тарифов; качество начального плана гарантирует только проверка.

5. Метод потенциалов проверяет оптимальность: все $\Delta_{ij} \geq 0$; при $\Delta_{ij} < 0$ строится цикл, находится $\theta$, план улучшается (в примере: 630 → 620 руб. за одну итерацию).

6. Экономический смысл оценок: $\Delta_{ij}$ — удорожание перевозки единицы по свободному маршруту; $\Delta_{ij} = 0$ — признак альтернативного оптимума.

7. Инструменты: Excel (Solver, Симплекс ЛП), Python (OR-Tools, PuLP, SciPy); верификация тремя способами обязательна.

8. Большая размерность решается потоковыми алгоритмами (min-cost flow, network simplex) и специализированными решателями (Gurobi, OR-Tools).

9. Ограничения инфраструктуры (пропускная способность, договорные минимумы, запрещённые маршруты) добавляются в модель; их «цена» — разность $F_{огр} - F^*$.

10. На машиностроительном предприятии модель дополняется приоритетом государственного контракта, ограничениями на маршруты перевозок и прослеживаемостью партий.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение транспортной задачи.
2. Запишите математическую модель транспортной задачи.
3. Опишите алгоритм метода минимального элемента.
4. Как проверяется оптимальность плана методом потенциалов?
5. Какие инструменты используются для решения транспортных задач?

Рекомендуемая литература

Основная:

1. Шадрина Н. И. Решение задач оптимизации в Microsoft Excel 2010: учеб. пособие. — Хабаровск: Изд-во ТОГУ, 2016.
2. Google OR-Tools: документация. — URL: https://developers.google.com/optimization

Дополнительная:

1. Рахмангулов А. Н. Методологические основы организации функционирования ж.-д. промышленных транспортно-технологических систем: автореф. дис. — Москва, 2013.

Полный каталог и содержание источников — в обзоре литературы.