Лекция 2.7. Транспортная задача: линейное программирование

Содержание

• Лекция 2.7. Транспортная задача: линейное программирование
  • Содержание
  • Постановка транспортной задачи
    • Исходные данные
    • Пример
  • Математическая модель
    • Целевая функция
    • Ограничения
    • Балансовое условие
  • Метод минимального элемента
    • Алгоритм
    • Пример решения
  • Метод потенциалов
    • Алгоритм проверки оптимальности
    • Пример проверки
  • Инструменты решения
    • Excel («Поиск решения»)
    • Python (Google OR-Tools)
    • Python (PuLP)
  • Транспортная задача большой размерности
    • Проблемы большой размерности
    • Методы решения
  • Учёт ограничений инфраструктуры
    • Типы ограничений
    • Пример с ограничениями
  • Сравнение Excel и Python
    • Рекомендации по выбору
  • Ключевые выводы по лекции
  • Контрольные вопросы

Постановка транспортной задачи

Транспортная задача — задача оптимизации перевозок грузов от поставщиков к потребителям с минимальными затратами при соблюдении ограничений по запасам и спросу.

Исходные данные

Поставщики:

• $m$ поставщиков с запасами $A_1, A_2, …, A_m$

Потребители:

• $n$ потребителей со спросом $B_1, B_2, …, B_n$

Стоимости перевозки:

• $C_{ij}$ — стоимость перевозки 1 единицы от поставщика $i$ к потребителю $j$

Пример

Данные:

Вопрос: Сколько и куда перевозить для минимизации затрат?

Математическая модель

Целевая функция

Минимизация совокупных затрат:

Где:

• $x_{ij}$ — объём перевозки от поставщика $i$ к потребителю $j$
• $C_{ij}$ — стоимость перевозки единицы груза

Ограничения

По запасам поставщиков: \(\\sum_{j=1}^{n} x_{ij} \\leq A_i, \\quad i = 1, ..., m\)

По спросу потребителей: \(\\sum_{i=1}^{m} x_{ij} \\geq B_j, \\quad j = 1, ..., n\)

Неотрицательность: \(x_{ij} \\geq 0\)

Балансовое условие

Закрытая модель (спрос = предложение): \(\\sum_{i=1}^{m} A_i = \\sum_{j=1}^{n} B_j\)

Открытая модель (требуется балансировка):

• Если предложение > спроса — вводится фиктивный потребитель
• Если спрос > предложения — вводится фиктивный поставщик

Метод минимального элемента

Алгоритм

Шаг 1. Найти клетку с минимальной стоимостью $C_{ij}$

Шаг 2. Назначить максимальную перевозку: \(x_{ij} = min(A_i, B_j)\)

Шаг 3. Скорректировать запасы и спрос:

• $A_i = A_i - x_{ij}$
• $B_j = B_j - x_{ij}$

Шаг 4. Исключить удовлетворённую строку или столбец

Шаг 5. Повторять шаги 1–4 до полного распределения

Пример решения

Исходная матрица:

Шаги:

1. Минимум = 3 (С1-П3): $x_{13} = min(100, 150) = 100$
   • С1 исчерпан, П3 осталось 50
2. Минимум = 4 (С2-П1): $x_{21} = min(150, 120) = 120$
   • П1 удовлетворён, С2 осталось 30
3. Минимум = 5 (С3-П2): $x_{32} = min(200, 180) = 180$
   • П2 удовлетворён, С3 осталось 20
4. Минимум = 4 (С3-П3): $x_{33} = min(20, 50) = 20$
   • С3 исчерпан, П3 осталось 30
5. Минимум = 7 (С2-П3): $x_{23} = min(30, 30) = 30$
   • Всё распределено

Результат:

Затраты: $100×3 + 120×4 + 30×7 + 180×5 + 20×4 = 300 + 480 + 210 + 900 + 80 = 1970$ руб.

Метод потенциалов

Алгоритм проверки оптимальности

Шаг 1. Назначить потенциалы $u_i$ и $v_j$ так, чтобы для всех базисных клеток: \(u_i + v_j = C_{ij}\)

Шаг 2. Принять $u_1 = 0$

Шаг 3. Вычислить оценки свободных клеток: \(\\Delta_{ij} = C_{ij} - (u_i + v_j)\)

Шаг 4. Проверить оптимальность:

• Если все $\Delta_{ij} \geq 0$ — план оптимален
• Если есть $\Delta_{ij} < 0$ — план можно улучшить

Пример проверки

Потенциалы для базисных клеток:

Расчёт оценок свободных клеток:

• $\Delta_{11} = 5 - (0 + 5) = 0$
• $\Delta_{12} = 8 - (0 + 5) = 3$
• $\Delta_{22} = 6 - (-1 + 5) = 2$
• $\Delta_{31} = 9 - (0 + 5) = 4$

Вывод: Все $\Delta_{ij} \geq 0$ → план оптимален!

Инструменты решения

Excel («Поиск решения»)

Настройка:

1. Создать таблицу перевозок
2. Формула целевой функции: =СУММПРОИЗВ(матрица_перевозок; матрица_стоимостей)
3. Ограничения:
   • Сумма по строкам ≤ запасы
   • Сумма по столбцам ≥ спрос
4. Запустить «Поиск решения» (Solver)

Python (Google OR-Tools)

from ortools.linear_solver import pywraplp

# Создание решателя
solver = pywraplp.Solver('Transport', pywraplp.Solver.GLOP_LINEAR_PROGRAMMING)

# Данные
costs = [[5, 8, 3], [4, 6, 7], [9, 5, 4]]
supply = [100, 150, 200]
demand = [120, 180, 150]

# Переменные решения
x = {}
for i in range(3):
    for j in range(3):
        x[i, j] = solver.NumVar(0, solver.infinity(), f'x[{i},{j}]')

# Целевая функция
solver.Minimize(solver.Sum(costs[i][j] * x[i, j] for i in range(3) for j in range(3)))

# Ограничения по запасам
for i in range(3):
    solver.Add(solver.Sum(x[i, j] for j in range(3)) <= supply[i])

# Ограничения по спросу
for j in range(3):
    solver.Add(solver.Sum(x[i, j] for i in range(3)) >= demand[j])

# Решение
status = solver.Solve()
print(f'Минимальные затраты: {solver.Objective().Value()}')

Python (PuLP)

from pulp import *

# Модель
model = LpProblem('Transport', LpMinimize)

# Переменные
x = LpVariable.dicts('x', [(i, j) for i in range(3) for j in range(3)], lowBound=0)

# Целевая функция
model += lpSum(costs[i][j] * x[(i, j)] for i in range(3) for j in range(3))

# Ограничения
for i in range(3):
    model += lpSum(x[(i, j)] for j in range(3)) <= supply[i]

for j in range(3):
    model += lpSum(x[(i, j)] for i in range(3)) >= demand[j]

# Решение
model.solve()

Транспортная задача большой размерности

Проблемы большой размерности

При большом количестве поставщиков и потребителей:

• Экспоненциальный рост числа переменных
• Длительное время решения
• Проблемы с памятью

Пример:

• 100 поставщиков × 500 потребителей = 50 000 переменных
• 100 + 500 = 600 ограничений

Методы решения

1. Декомпозиция

• Разбиение на подзадачи меньшего размера
• Последовательное решение с координацией

2. Приближённые алгоритмы

• Жадные алгоритмы
• Генетические алгоритмы
• Метод роя частиц

3. Специализированные решатели

• Gurobi, CPLEX — коммерческие
• Google OR-Tools, CBC — открытые

Учёт ограничений инфраструктуры

Типы ограничений

Пропускная способность маршрутов: \(x_{ij} \\leq Capacity_{ij}\)

Ограничения по типу транспорта:

• Только определённые маршруты для опасных грузов
• Ограничения по весу/габаритам

Временные окна:

• Доставка в определённые часы
• Ограничения на ночные перевозки

Парк подвижного состава: \(\\sum_{j} x_{ij} \\leq Fleet_i \\cdot Capacity_{vehicle}\)

Пример с ограничениями

Дополнительные условия:

• Маршрут С1-П3: максимум 80 единиц (ремонт дороги)
• Маршрут С2-П1: минимум 50 единиц (договорные обязательства)

Модификация модели:

x[1,3] <= 80
x[2,1] >= 50

Сравнение Excel и Python

Рекомендации по выбору

Ключевые выводы по лекции

1. Транспортная задача минимизирует затраты на перевозки при ограничениях по запасам и спросу.

2. Математическая модель: целевая функция минимизации затрат + ограничения баланса.

3. Метод минимального элемента строит начальный план.

4. Метод потенциалов проверяет оптимальность: все $\Delta_{ij} \geq 0$.

5. Инструменты: Excel (Solver), Python (OR-Tools, PuLP).

6. Большая размерность требует декомпозиции или специализированных решателей.

7. Ограничения инфраструктуры учитываются в модели дополнительными условиями.

8. Выбор инструмента зависит от размерности задачи и требований к интеграции.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение транспортной задачи.
2. Запишите математическую модель транспортной задачи.
3. Опишите алгоритм метода минимального элемента.
4. Как проверяется оптимальность плана методом потенциалов?
5. Какие инструменты используются для решения транспортных задач?